كيفية حل أنظمة المعادلات الجبرية التي تحتوي على متغيرين

في أنظمة المعادلات، يُطلب منك حل معادلتين أو أكثر معًا. قد يكون من الصعب في البداية معرفة كيفية حلها إذا كانت المتغيرات مختلفة مثل (س، ص) أو (أ، ب)، لكن لحسن الحظ، كل ما تحتاجه لحل المشكلة بعد أن تعرف ما يجب فعله هو مهارات الجبر الأساسية ( وأحيانًا معرفة الكسور). تعرف على كيفية رسم المعادلات بيانيًا إذا كنت متعلمًا بصريًا أو يسأل معلمك. يمكن أن تكون الرسوم البيانية مفيدة “لمعرفة ما يحدث” أو لمراجعة الحل الخاص بك، ولكنها قد تكون أبطأ من الطرق الأخرى وغير مناسبة لجميع أنظمة المعادلات.

خطوات

استخدم طريقة التعويض

1. 1 انقل المتغيرات إلى الجوانب المختلفة للمعادلة. تبدأ طريقة “التعويض” بإيجاد قيمة x (أو أي متغير آخر) في المعادلة. على سبيل المثال، لنفترض أن معادلاتنا هي 4x + 2y = 8 و 5x + 3y = 9. ابدأ بالنظر إلى المعادلة الأولى فقط وأعد ترتيبها بطرح 2y من كلا الجانبين للحصول على 4x = 8 -2y.

   • تستخدم هذه الطريقة عادةً الكسور لاحقًا. يمكنك تجربة طريقة الحذف أدناه إذا كنت لا تحب الكسور.

2. 2 قسّم طرفي المعادلة لإيجاد قيمة x. اقسم طرفي المعادلة بحيث يكون لديك مصطلح الجيب (أو أي متغير مستخدم) على أحد الجانبين لجعله مستقلاً. على سبيل المثال

   • 4 س = 8 – 2 ص
   • (4 ساعات) / 4 = (8/4) – (2r / 4)
   • س = 2 – 1/2 ص

3. 3 عوّض بهذه القيمة في المعادلة الأخرى. تأكد من العودة إلى المعادلة “الأخرى”، وليس المعادلة التي استخدمتها سابقًا، واستبدل المتغير الذي حسبته للتو حتى يتبقى مع متغير واحد. على سبيل المثال

   • أنت تعلم أن x = 2 – 1/2 y.
   • المعادلة الثانية التي لم تتغير هي 5 س + 3 ص = 9.
   • في المعادلة الثانية، استبدل x بـ “2-1 / 2y” لتحصل على 5 (2-1 / 2y) + 3y = 9.

4. 4 أوجد قيمة المتغير المتبقي. لديك الآن معادلة في متغير واحد، لذا استخدم الطرق الجبرية العادية لإيجاد قيمتها. انتقل إلى الخطوة الأخيرة إذا كانت المتغيرات تلغي بعضها البعض، وإلا ستحصل على قيمة أحد المتغيرين

   • 5 (2 – 1/2 ص) + 3 ص = 9
   • 10 – (2/5) ص + 3 ص = 9
   • 10 – (2/5) ص + (2/6) ص = 9 (اقرأ عن كيفية جمع الكسور إذا لم تفهم هذه الخطوة. هذا ضروري عادةً لهذه الطريقة، ولكن ليس دائمًا.)
   • 10 + 1/2 ص = 9
   • 1 / 2p = -1
   • ص = -2

5. 5 استخدم الإجابة لإيجاد قيمة المتغير الآخر. لا تخطئ في ترك المسألة نصف محلولة، حيث يتعين عليك استبدال الإجابة في المعادلات الأصلية لإيجاد قيمة المتغير الآخر

   • أنت تعلم أن y = -2
   • إحدى المعادلات الأصلية هي 4x + 2y = 8. (يمكنك استخدام المعادلة الأخرى في هذه الخطوة.)
   • استبدل yb -2 لتصبح 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4 ساعات – 4 = 8
   • 4 ساعات = 12
   • س = 3

6. 6 تعرف على ما يجب فعله عندما تلغي المتغيرات بعضها البعض. ما تحاول الحصول عليه هو معادلة في متغير واحد عندما تستبدل “x = 3y + 2” أو إجابات مماثلة في المعادلة الأخرى، لكن في بعض الأحيان ينتهي بك الأمر بمعادلة بدون متغيرات. راجع الحل وتأكد من استبدال المعادلة الأولى (المعاد ترتيبها) في الثانية وليس فيها مرة أخرى. ستحصل على إحدى النتائج التالية إذا كنت واثقًا من أنك لم ترتكب أي أخطاء X مصدر البحث الخاص بي

   • لا يوجد حل للمشكلة إذا انتهى بك الأمر بمعادلة لا تحتوي على متغيرات غير صحيحة (على سبيل المثال 3 = 5). (إذا قمت برسم المعادلتين، فإنهما متوازيتان ولا تتقاطعان أبدًا.)
   • سيكون هناك عدد لا حصر له من الحلول للمشكلة إذا انتهى بك الأمر بمعادلة صحيحة بدون متغيرات (على سبيل المثال 3 = 3). المعادلتان متطابقتان تمامًا (وإذا قمت برسمهما، فإنهما على نفس الخط).

استخدم طريقة الحذف

1. 1 ابحث عن المصطلح المحذوف. في بعض الأحيان، يتم إلغاء المصطلح بمجرد إضافة المعادلتين. على سبيل المثال، عندما تضيف المعادلتين 3x + 2y = 11 و 5x – 2y = 3، فإن “2y” و “-2y” ستلغي بعضهما البعض، مما يلغي كل y من المعادلة. انظر إلى المعادلات في مشكلتك ولاحظ ما إذا كان أحد المتغيرات يلغي مثل هذا. إذا لم يكن كذلك، فتابع القراءة للخطوة التالية للحصول على المشورة.

2. 2 اضرب معادلة في رقم بحيث يلغي المتغير. (تجاوز هذه الخطوة إذا كانت المتغيرات تلغي بعضها البعض بالفعل). قم بتغيير معادلة إذا لم يكن هناك متغير يمكن حذفه تلقائيًا لحدوث ذلك. هذا سهل الفهم بمثال على النحو التالي

   • لديك نظام المعادلات 3 س – ص = 3 و – س + 2 ص = 4.
   • دعنا نغير المعادلة الأولى بحيث يتم إلغاء المصطلح الذي يحتوي على “y”. (يمكنك اختيار “x” بدلاً من ذلك وستحصل في النهاية على نفس الإجابة.)
   • يجب إلغاء -y في المعادلة الأولى مع + 2y في المعادلة الثانية. يمكننا فعل ذلك بضرب -y في 2.
   • اضرب كلا طرفي المعادلة الأولى في 2 على النحو التالي 2 (3x – y) = 2 (3) لذا 6x – 2y = 6. ستلغي الآن -2y مع + 2y في المعادلة الثانية.

3. 3 اجمع المعادلتين. اجمع الأطراف اليسرى معًا والطرف الأيمن معًا لتجميع المعادلات. يجب حذف أحد المتغيرات إذا كنت قد أعددت المعادلات بشكل صحيح. إليك مثال على استخدام نفس المعادلات كخطوة أخيرة

   • المعادلات الخاصة بك هي 6 س – 2 ص = 6 و – س + 2 ص = 4.
   • أضف الأطراف اليسرى 6 س – 2 ص – س + 2 ص =
   • بإضافة الأطراف اليمنى، نجد 6x -2y – x + 2y = 6 + 4.

4. 4 أوجد قيمة المتغير الأخير. بسّط معادلة الجمع، ثم استخدم الجبر الأساسي لإيجاد المتغير الأخير. انتقل إلى الخطوة الأخيرة في هذا القسم في حالة عدم وجود متغيرات متبقية بعد التبسيط، وإلا سينتهي بك الأمر بإجابة بسيطة لأحد المتغيرات الخاصة بك. على سبيل المثال

   • لديك 6 س – 2 ص – س + 2 ص = 6 + 4.
   • اجمع x و y معًا 6x – x – 2y + 2y = 6 + 4.
   • تقليل 5x = 10
   • أوجد قيمة x 5x / 5 = 10/5، لذا x = 2.

5. 5 أوجد قيمة المتغير الآخر. لقد أنشأت أحد المتغيرين، لكنك لم تنته بعد. عوّض بإجابتك في إحدى المعادلات الأصلية بحيث يمكنك إيجاد قيمة المتغير الآخر. على سبيل المثال

   • أنت تعلم أن x = 2 وإحدى المعادلات الأصلية هي 3x – y = 3.
   • استبدل sb2 لتصبح 3 (2) – y = 3.
   • أوجد قيمة y في المعادلة 6 – y = 3
   • 6 – ص + ص = 3 + ص، لذلك 6 = 3 + ص
   • ص = 3

6. 6 اعرف ماذا تفعل عندما تلغي الحدود بعضها البعض. أحيانًا تؤدي إضافة معادلتين إلى معادلة لا معنى لها أو على الأقل ليست مفيدة لحل المشكلة. راجع الحل الخاص بك من البداية، ولكن إذا وجدت أنك لم ترتكب أي أخطاء، فاكتب إجابتك مما يلي X مصدر بحثي

   • لا يوجد حل للمعادلتين إذا جمعتهما معًا وكانت النتيجة بدون متغيرات وغير صالحة (على سبيل المثال 2 = 7). (إذا قمت برسمها، فسترى خطين متوازيين لا يتقاطعان أبدًا.)
   • ستكون “حلولًا بلا حدود” إذا لم تكن هناك متغيرات في المعادلة بعد الإضافة ولكنها صحيحة (على سبيل المثال 0 = 0) وكانت المعادلتان متطابقتين بالفعل (أي إذا قمت برسمهما فستحصل على نفس السطر).

ارسم المعادلات بيانيًا

1. 1 استخدم هذه الطريقة فقط عندما يُطلب منك ذلك. يمكن حل العديد من أنظمة المعادلات بهذه الطريقة تقريبًا إلا إذا كنت تستخدم جهاز كمبيوتر أو آلة حاسبة بالرسوم البيانية. X مصدر البحث قد يطلب منك معلمك أو كاتبك استخدام هذه الطريقة للتعرف على رسم المعادلات كخطوط، ويمكنك استخدامها للتحقق من إجابتك من إحدى الطرق الأخرى.

   • الفكرة الأساسية هي رسم كلتا المعادلتين وإيجاد نقطة تقاطعهما. تعطينا قيمتي x و y عند هذه النقطة قيمة x وقيمة y في نظام المعادلات.

2. 2 أوجد قيمة y في كلا المعادلتين. استخدم الجبر لتحويل المعادلتين إلى الصيغة “y = __x + __” مع الاحتفاظ بها منفصلة. مصدر بحث X، على سبيل المثال

   • معادلتك الأولى هي 2x + y = 5. قم بتغييرها إلى y = -2x + 5.
   • معادلتك الثانية هي -3 س + 6 ص = 0. قم بتغييرها إلى 6 ص = 3 س + 0، ثم اختزلها إلى ص = 1/2 س + 0.
   • سيصبح الخط بأكمله “نقطة تقاطع” إذا كانت المعادلتان متماثلتين. اكتب “هناك عدد لا حصر له من الحلول”.

3. 3 ارسم محاور الإحداثيات. خذ ورقة الرسم البياني وارسم “المحور الصادي” الرأسي و “المحور السيني” الأفقي. ابدأ من النقطة التي يتقاطعان فيها، اكتب الأرقام 1، 2، 3، 4، وما إلى ذلك، صعودًا إلى المحور الصادي، ثم على المحور س مباشرة، ثم ضع الأرقام -1، -2، إلخ. المحور ص، ثم اليسار على المحور السيني.

   • إذا لم يكن لديك ورق رسم بياني، فاستخدم المسطرة للتأكد من أن الأرقام هي المسافات الصحيحة.
   • قد تحتاج إلى استخدام مقياس مختلف للرسم البياني إذا كانت الأرقام كبيرة أو عشرية. (10 و 20 و 30 أو 0.1 و 0.2 و 0.3 بدلاً من 2 و 3.)

4. 4 ارسم تقاطع الخطين مع المحور y. بعد أن تكون المعادلة بالصيغة “y = __x + __”، يمكنك البدء في الرسم البياني عن طريق رسم نقطة حيث يتقاطع الخط مع المحور y. ستكون قيمة y دائمًا مساوية للرقم الأخير في المعادلة.

   • بالإشارة إلى الأمثلة السابقة، نجد أن السطر الأول (y = -2x + 5) يتقاطع مع المحور y عند “5” بينما يتقاطع الخط الآخر (y = 1/2 + 0) عند “0”، ( وهي النقاط (0،5) و (0،0) على الرسم البياني.)
   • استخدم أقلام ملونة مختلفة إذا كان بإمكانك رسم الخطوط.

5. 5 استخدم الإمالة لإكمال الخطوط. الرقم الموجود أمام x في المعادلة “y = __x + __” هو “ميل” الخط، وفي كل مرة تزيد x بمقدار 1، تزداد y بميل الخط. استخدم هذه المعلومات لرسم نقطة على الخط عند x = 1. (عوض x = 1 في المعادلات واستبدل ما ورد أعلاه بقيمة y.)

   • ميل الخط “y = -2x + 5” هو “-2” في مثالنا، وعندما x = 1، ينخفض ​​الخط بمقدار 2 من النقطة x = 0. ارسم هذا الجزء من الخط بين (0، 5) و (1،3).
   • ميل الخط “y = 1/2x + 0” هو “1/2” وعند x = 1 يرتفع الخط بمقدار 1/2 تصاعديًا عند النقطة x = 0. ارسم الجزء بين (0،0) و (1،1 / 2) من الخط.
   • لن يتقاطع خطان أبدًا إذا كان لهما نفس الميل، لذلك لا توجد إجابة لنظام المعادلات. اكتب “لا يوجد حل”.

6. 6 استمر في رسم نقاط الخطين حتى يتقاطعان. توقف وانظر إلى الرسم الخاص بك. انتقل إلى الخطوة التالية إذا تقاطع الخطان واتخذ قرارك وفقًا لحالتهما

   • إذا تقارب الخطين، استمر في وضع النقاط في اتجاه التقارب.
   • إذا تباعدوا، حرك النقاط في الاتجاه الآخر، بدءًا من x = -1.
   • إذا كان يبدو أن الخطوط لا تتقارب في مكان ما، فحاول اتخاذ خطوة واسعة ورسم النقاط بشكل أكبر، مثل x = 10.

7. 7 أوجد الإجابة عند نقطة التقاطع. ستصبح قيم x و y عند نقطة تقاطع الخطين هي الحل لمشكلتك، وإذا كنت محظوظًا، فستحصل على أعداد صحيحة. في مثالنا، يتقاطع الخطان عند (2،1)، على سبيل المثال، لذا ستكون الإجابة “س = 2 وص = 1”. في بعض أنظمة المعادلات، تتقاطع الخطوط عند قيمة بين عددين صحيحين، وما لم يكن الرسم البياني الخاص بك دقيقًا جدًا، فمن الصعب تحديده. إذا حدث هذا، يمكنك كتابة “x تقع بين 1 و 2” أو استخدام طريقة الاستبدال والإلغاء للعثور على الإجابة الدقيقة.

أفكار مفيدة

• يمكنك مراجعة الحل الخاص بك عن طريق استبدال إجابتك في المعادلات الأصلية، وإذا كانت صحيحة (على سبيل المثال، 3 = 3)، فإن الإجابة صحيحة.
• ستحتاج أحيانًا إلى ضرب إحدى المعادلتين في رقم سالب من أجل حذف متغير عند استخدام طريقة الحذف.

تحذيرات

• لا يمكن استخدام هذه الطرق إذا تم رفع متغير إلى قوة مثل x2. راجع شرح تحليل المعادلات التربيعية في متغيرين لمزيد من المعلومات حول المعادلات من هذا النوع. X موارد البحث